研究生数学建模，研究生数学建模大赛官网
01
一、问题背景
《显微镜下的大明之丝绢案》迎来了大结局。剧中反复提到《丝绢全书》中的“推步聚顶之术”，“推步聚顶之术”能够快速地测量不规则田地的面积。那么何为“推步聚顶”？关于剧中“推步聚顶”之术，有口诀：
先牵经纬以衡量，再点圆初标步长。
田型取顶分别数，再算推步知地方。
根据这个口诀，所谓的“推步聚顶”之术，应该指的是三形分割法求多边形面积。
02
二、模型建立
我们以先以凸多边形为例，我们在多边形内任意取一个点，然后将该点依次与各边连线，这样多边形就被分割为多个三角形了。只需要求得每个三角形的面积，就可以求出整个多边形的面积。
我们可以使用向量积来计算每个三角形的面积。例如，上图中的多边形面积可表示为
其中 ai 为每个三角形的面积，(xi, yi) 为第 i 个顶点的坐标。当 i = n时，下标 n+1 也记为 0。实际上，由于向量积存在正负之分。因此，选取的参考点既可以在多边形的内部，也可以在多边形外部，如下图。
向量积正值覆盖到多边形的面积，而负值刚好是多余图形的面积，正负相消，得到的就是多余图形的面积。因此，仍然可以用上面的公式计算多边形的面积。
注意，上面的推导并不要求多边形为凸多边形。实际上，上面求面积的公式同样适用于凹多边。《显微镜下的大明之丝绢案》中的妖田，可以看作是不规则多边形，只要选取任意一点作为参考点（原点），测得多边形各顶点的坐标，就可以用上面的公式快速计算出妖田的面积，这便是“推步聚顶之术”。
03
三、模型求解
我们来看一个例子：
下面是推步聚顶术的求解过程：
下面是“推步聚顶之术”求解的程序代码：
04
四、模型拓展
用三角形和梯形测试了一下，这个方法有效。
然后又用这个方法算妖田
下面是“推步聚顶之术”求解的程序代码：
推步聚顶
推步
聚顶
有使用行列式来表示的方法，这里提供另外一种复数的思路，这种思路基于行列式对面积的表示，但是把公式封装得很简洁。
因此可以使用虚部的绝对值来表示三角形的面积。
通过选定平面上一点 OO 和实轴与虚轴，任意平面上的一点 An都有唯一的复数表示，这个复数表示了向量 OA，我们约定使用复数an表示它. 对于一个多边形, 我们可以选定一个定向，也就是按照从 1到 n或从 n到 1 的顺序，我们这里使用前者。考虑下面的和
取这个表达式的绝对值就得到了面积的结果。由于定向是一致的，从而这种方法计算的结果确实就是想要的面积。
这个方法来源于尼达姆的《复分析：可视化方法》第一章的内容。其中解释了平面叉乘不是通常意义上的叉乘，但是可以作为叉乘在 z -轴方向的投影。
05
五、附录：程序代码
下面是“推步聚顶之术”求解的程序代码：
——以上内容由清华大学博士供稿
BONUS TIME
数学建模资料、视频讲解、历年赛题
后台回复 【校苑】领取
推荐阅读（点击下方图片即可跳转）
研究生数学建模(研究生数学建模大赛官网)
未经允许不得转载：考研培训机构 » 研究生数学建模(研究生数学建模大赛官网)
